中学生でもわかる電子工作教室

入門書はあってもその次がない電子工作の学びを助けたいという思いで作られたブログです

【第3回/全10回】積分

 コンデンサの電流と電圧の関係は積分で表されます。
 今回は積分について学びましょう。

 ※すでに知っている人は飛ばしていいです。

積分とは

 グラフの傾きをもとに、グラフを描く操作で、積分の反対になります。関数\(f(x)\)の微分は\(\int f(x)dx\)と表します。例えば、\(f(x)=2\)の積分は\(\int f(x)dx=2x+\mathrm{C}\)になります。但し、\(\mathrm{C}\)は任意定数(積分定数と呼ばれる)で、不定積分(後述)の時は必ず付きます。微分したとき0になる定数の代わりだと思えばいいでしょう。

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 ※グラフでは\(\mathrm{C}=0\)としています。

 \(f(x)=x\)の積分は\(\int f(x)dx=x^2+\mathrm{C}\)になります。

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 ※グラフでは\(\mathrm{C}=0\)としています。

色々な関数の積分の計算方法

 一般に\(n\neq-1\)のとき、\(f(x)=x^n\)の積分は次のようになります。但し、\(\mathrm{C}\)は積分定数です。

\[\int x^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+\mathrm{C}\]
\[\int a dx=ax+\mathrm{C}\]
※\(a\)は定数

 また、\(f(x)=\sin x\)や、\(f(x)=\cos x\)の積分は次のようになります。

\[\int \sin xdx=-\cos x+\mathrm{C}\]
\[\int \cos xdx=\sin x+\mathrm{C}\]

 また、ネイピア数\(e=2.7...\)を用いた\(f(x)=e^x\)は積分しても同じ形になります。

\[\int e^xdx=e^x+\mathrm{C}\]

※これらの証明は高校でも習いません。覚えるものだと思ってください。

積分の性質

 積分には次のような性質があります。但し、\(\int f(x)dx=F(x)\)で、積分定数\(\mathrm{C}\)は\(F(x)\)に含まれています(含まず、最後に足してもいいです)。

\[\int f(kx)dx=\frac{1}{k}F(kx)\left(=\frac{1}{k}F(kx)+\mathrm{C'}\right)\]
\[\int \{f(x)+g(x)\}dx=F(x)+G(x)\left(=F(x)+G(x)+\mathrm{C'}\right)\]
\[\int af(x)dx=aF(x)\left(=aF(x)+\mathrm{C'}\right)\]

 下二つの性質は何となくわかるのではないかなと思います。

 一番上の性質は例えば\(\int \sin ωxdx=-\displaystyle \frac{1}{ω}cosωx+\mathrm{C}\)のようなことで、傾きの変化が\(ω\)倍速くなった→一瞬当たりのグラフを描く量が\(\displaystyle \frac{1}{ω}\)倍になる→縦に\(\displaystyle \frac{1}{ω}\)倍される、と考えると良いでしょう。

※なお\(\int f(kx)dx=\displaystyle\frac{1}{k}F(kx)+\mathrm{C}\)が成り立つのは\(k\)が\(x\)によらない定数の時です。

積分

 今まで説明してきたのは不定積分といって必ず\(\mathrm{C}\)がつく積分です。
 これは\(F(x)=x^2+1\)も\(F(x)=x^2+3\)も、どちらも傾きが\(f(x)=2x\)となるグラフだから、まとめて\(x^2+\mathrm{C}\)と表しているわけです。

 それに対して次のように表される定積分は\(\mathrm{C}\)がつきません。なお、\(F(x)\)は\(f(x)\)の不定積分で、積分定数を含んでいます(が、打ち消されます)。

\[\int_a^bf(x)dx]=\left[F(x)\right]_a^b=F(b)-F(a)\]

 定積分は例えば\(q(t)=\int_0^ti(t')dt'\)とすれば\(0\)秒から\(t\)秒までにコンデンサに流れ込む(溜まる)電荷を計算することができます(今回の\(t'\)は\(t\)の微分という意味ではなく\(t\)と別の変数\(t'\)ということです。\(i(t')\)を\(t'\)で不定積分した\(I(t')\)に\(t'=t\)と\(t'=0\)を代入して引くということです)。

例題

①\(\displaystyle\int_0^tI_m\sinωt'dt'\)を計算せよ(\(I_m\)、\(ω\)は\(t'\)によらない定数)。
②\(\displaystyle\int_0^tI_m(1-e^{-\frac{1}{RC}t'})dt'\)を計算せよ(\(I_m\)、\(R\)、\(C\)は\(t'\)によらない定数)。

答え

①\(\displaystyle\int_0^tI_m\sinωt'dt'=\left[-\displaystyle\frac{I_m}{ω}\cosωt'\right]_0^t=\displaystyle\frac{I_m}{ω}(1-\cosωt)\)
②\(\displaystyle\int_0^tI_m(1-e^{-\frac{1}{RC}t'})dt'=\left[-I_m(t'+RCe^{\frac{1}{RC}t'})\right]_0^t=I_m(RC-t-RCe^{-\frac{1}{RC}t})\)

※定数\(a\)の積分は\(ax+\mathrm{C}\)となる。

コンデンサの電流と電圧の関係

 \(t'=t\)のコンデンサの電圧\(v(t)\)はコンデンサ\(C\)に流れ込む電流\(i(t')\)を用いて次のようになります。なお、\(Q_0\)は(\(t'=0\)にコンデンサに溜まっていた電荷です。

\[v(t)=\frac{1}{C}\{\int_0^ti(t')dt'+Q_0\}\]

 \(\{\}\)でくくられた部分が\(t'=t\)までにコンデンサに溜まった電荷で、それを\(C\)で割った形になっています。

 例えば、\(i(t')=I_m\cos ωt'\)の電流がコンデンサ\(C\)に流れているとき、コンデンサの両端子間に現れる電圧は\(v(t)=\displaystyle\frac{I_m}{ωC}\sin ωt+Q_0\)になります。

このページで覚えるべきこと

  • \[\int a dx=ax+\mathrm{C}\]
    \[\int \sin xdx=-\cos x+\mathrm{C}\]
    \[\int \cos xdx=\sin x+\mathrm{C}\]
    \[\int e^xdx=e^x+\mathrm{C}\]

  • \(\int f(x)dx=F(x)\)、\(\int g(x)dx=G(x)\)のとき、
    \[\int f(kx)dx=\frac{1}{k}F(kx)\]
    \[\int \{f(x)+g(x)\}dx=F(x)+G(x)\]
    \[\int af(x)dx=aF(x)\]

  • \[v(t)=\frac{1}{C}\{\int_0^ti(t')dt'+Q_0\}\]