【第2回/全10回】微分

　コイルの電流と電圧の関係は微分で表されます。
　今回は微分について学びましょう。

　※すでに知っている人は飛ばしていいです。

微分とは

　微分とは、グラフの傾きを出す操作です。関数\(f(x)\)の微分はプライム(\('\))をつけて\(f'(x)\)としたり、\(\displaystyle \frac{df(x)}{dx} \)と表します。例えば、\(f(x)=2x\)の微分は\(f'(x)=\displaystyle \frac{df(x)}{dx}=2\)になります。

　\(f(x)=x^2\)の微分は\(f'(x)=\displaystyle \frac{dy}{dx}=2x\)になります。

色々な関数の微分の計算方法

　一般に\(n\neq0\)のとき、\(f(x)=x^n\)の微分は次のようになります。また、定数の微分は\(0\)です。

\[(x^n)'=\frac{df(x)}{dx}=nx^{n-1}\]
\[(a)'=\frac{da}{dx}=0\]
※\(a\)は定数

　また、\(f(x)=\sin x\)や、\(f(x)=\cos x\)の微分は次のようになります。

\[(\sin x)'=\frac{d(\sin x)}{dx}=\cos x\]
\[(\cos x)'=\frac{d(\cos x)}{dx}=-\sin x\]

　また、ネイピア数\(e=2.7...\)は、\(f(x)=e^x\)という関数を考えた時に、微分しても同じ形になる数です。

\[(e^x)'=\frac{d(e^x)}{dx}=e^x\]

※これらの証明は高校でも習いません。覚えるものだと思ってください。

微分の性質

　微分には次のような性質があります。

\[\{f(kx)\}'\left(=\frac{df(kx)}{dx}\right)=kf'(kx)\left(=\left. \frac{df(x_1)}{dx_1} \right|_{x_1=kx}\right)\]
\[\{f(x)+g(x)\}'\left(=\frac{d\{f(x)+g(x)\}}{dx}\right)=f'(x)+g'(x)\left(=\frac{df(x)}{dx}+\frac{dg(x)}{dx}\right)\]
\[\{af(x)\}'\left(=\frac{d\{af(x)\}}{dx}\right)=af'(x)\left(=a\frac{df(x)}{dx}\right)\]

　下二つの性質は何となくわかるのではないかなと思います。

　一番上の性質は例えば\( (\sin ωx)'=ω\cos ωx\)のようなことで、\(x\)軸の動きが\(ω\)倍速くなった→横に\(ω\)倍圧縮される→傾きが\(ω\)倍になる、と考えると良いでしょう。

※なお、\(f'(kx)\)は\(f(x)\)を\(x\)で微分した関数\(f'(x)\)に\(kx\)を代入したという意味で、\(g(x)=f(kx)\)の微分\(g'(x)\)は\(\{f(kx)\}'\)と表されます。
※また、\(\{f(kx)\}'=kf'(kx)\)が成り立つのは\(k\)が\(x\)によらない定数の時で、より一般には\(\{f(k(x))\}'=f'(k(x))k'(x)\)となります。

例題

①\(i(t)=I_m\sin ωt\)を\(t\)で微分せよ(\(I_m\)、\(ω\)は\(t\)によらない定数)。
②\(i(t)=I_m(1-e^{-\frac{R}{L}t})\)を\(t\)で微分せよ(\(I_m\)、\(R\)、\(L\)は\(t\)によらない定数)。

答え

①\(i'(t)=I_m(\sin ωt)'=ωI_m\cos ωt\)
②\(i'(t)=I_m\{(1)'-(e^{-\frac{R}{L}t})'\}=\displaystyle\frac{R}{L}I_me^{-\frac{R}{L}t}\)

※定数の微分は\(0\)となる。

コイルの電流と電圧の関係

　コイル\(L\)に流れる電流\(i(t)\)と電圧\(v(t)\)の関係は次のようになります。

\[v(t)=L\frac{di(t)}{dt}\]

　\(\displaystyle \frac{di(t)}{dt}=\displaystyle \frac{v(t)}{L}\)という形にすれば分かりやすいかもしれません。
　電流の傾き(1秒当たりの増加量)は、\(v(t)\)を\(L\)で割った値になるということです。

　例えば、\(i(t)=I_m\sin ωt\)の電流がコイル\(L\)に流れているとき、コイルの両端子間に現れる電圧は\(v(t)=ωLI_m\cos ωt\)になります。

このページで覚えるべきこと

• 定数の微分は\(0\)
• \[(\sin x)'=\frac{d(\sin x)}{dx}=\cos x\]
  \[(\cos x)'=\frac{d(\cos x)}{dx}=-\sin x\]
  \[(e^x)'=\frac{d(e^x)}{dx}=e^x\]

• \[\{f(kx)\}'=kf'(kx)\]
  \[\{f(x)+g(x)\}'=f'(x)+g'(x)\]
  \[\{af(x)\}'=af'(x)\]

• \[v(t)=L\frac{di(t)}{dt}\]